Asymptotically ... equivalence of double sequences of sets defined by modulus functions

Abstract

Fast (1951) and Schoenberg (1959), independently, introduced the concept of statistical convergence and many authors studied this concept. Mursaleen and Edely (2003) extended this concept to the double sequences. The idea of I-convergence was introduced by Kostyrko et al. (2000) as a generalization of statistical convergence which is based on the structure of the ideal I of subset of N. The idea of I_2-convergence and some properties of this convergence were studied by Das et al. (2008). Nuray and Rhoades (2012) defined the idea of statistical convergence of set sequence and investigated some theorems about this notion and important properties. Kişi and Nuray (2013) defined Wijsman I-convergence of sequence of sets. Several authors have studied invariant convergent sequences [Mursaleen (1983), Pancaroğlu and Nuray (2013, 2014), Raimi (1963), Savaş and Nuray (1993)]. Tortop and Dündar (2018) introduced I_2-invariant convergence of double set sequences. Akın studied Wijsman lacunary I_2-invariant convergence of double sequences of sets. Marouf (1993) peresented definitions for asymptotically equivalent and asymptotic regular matrices. Modulus function was introduced by Nakano (1953). Maddox (1986), Pehlivan (1995) and many authors used a modulus function f to new some new concepts and inclusion theorems. Kumar and Sharma (2012) studied lacunary equivalent sequences by ideals and modulus function. Akın and Dündar (2018) and Akın et al. (2018) give definitions of f-asymptotically I_σ and I_σθ-statistical equivalence of set sequences. In this study, first, we present the concepts of strongly asymptotically I_2^σ- equivalence, f-asymptotically I_2^σ- equivalence, strongly f-asymptotically I_2^σ- equivalence for double sequences of sets. Then, we investigated some properties and relationships among this new concepts.

Fast (1951) ve Schoenberg (1959) tarafından istatistiksel yakınsaklık kavramı tanımlandı. Bu kavram ile ilgili birçok yazar tarafından çeşitli çalışmalar yapıldı. Mursaleen ve Edely (2003) bu kavramı çift küme dizilerine taşımıştur. İstatistiksel yakınsaklığın bir genelleştirmesi olan I-yakınsaklık Kostyrko vd. (2000) tarafından tanımlanmış olup, bu kavram N doğal sayılar kümesinin alt kümelerinin sınıfı olan I idealinin yapısına bağlıdır. I_2- yakınsaklık kavramı ve bu kavramın bazı özellikleri Das vd. (2008) tarafından incelendi. Nuray ve Rhoades (2012) küme dizileri için istatistiksel yakınsaklık kavramını tanımlayıp bu kavramla ilgili bazı özellikleri ve teoremleri inceledi. Küme dizilerinin Wijsman I- yakınsaklığı Kişi ve Nuray (2013) tarafından tanımlandı. Bazı yazarlar [Mursaleen (1983), Pancaroğlu ve Nuray (2013, 2014), Raimi (1963), Savaş ve Nuray (1993)] invaryant yakınsak diziler ile ilgili bazı çalışmalar yaptı. Tortop ve Dündar (2018) çift küme dizilerinde I_2-invariant yakınsaklık ile ilgili bir çalışma yaptı. Akın tarafından çift küme dizilerinin Wijsman lacunary I_2-invariant yakınsaklığı ile ilgili bir çalışma yapıldı. Marouf (1993) asimptotik denklik ve asimptotik regüler matris kavramlarını tanımladı. Modülüs fonksiyonu ilk defa Nakano (1953) tarafından tanımlandı. Maddox (1986), Pehlivan (1995) ve birçok yazar tarafından f modülüs fonksiyonu kullanılarak bazı yeni kavramları ve sonuç teoremlerini içeren çalışmalar yapıldı. Modülüs fonsiyonunu kullanılarak lacunary ideal denk diziler ile ilgili Kumar ve Sharma (2012) tarafından bir çalışma yapıldı. Akın and Dündar (2018) and Akın vd. (2018) tarafından küme dizilerinin f-asimptotik I_σ ve I_σθ-istatistiksel denkliği kıavramlarının tanımları yapıldı. Bu çalışmada çift küme dizileri için kuvvetli asimptotikI_2^σ- denklik, f-asymptotik I_2^σ- denklik, kuvvetlif-asymptotik I_2^σ-denklik kavramları tanımlandı. Daha sonra bu kavramların özellikleri ve aralarındaki ilişkiler incelendi.