Matrix Method Development for Structural Analysis of Euler Bernoulli Beams with Finite Difference Method

Abstract

The behaviors of structural systems are generally described with ordinary or partial differential equations. Finite Difference Method (FDM) mainly replaces the derivatives in the differential equations by finite difference approximations. It can be said that finite difference formulation offers a more direct approach to the numerical solution of partial differential equations. In this study, matrix approach is proposed for structural analysis with FDM. The system analysis procedure including stiffness matrix development, applying boundary and loading conditions on a structural element is proposed. The interacting points group is determined depending on the differential equations of the structural element and system rigidity matrix is generated by using this dynamic points group. The proposed algorithms are developed for Euler Bernoulli beams in this study because of its simplicity and may be enhanced for any other structural system in future studies by using same steps.

Yapı sistemlerinin davranışı genellikle adi ya da kısmi diferansiyel denklemler ile tarif edilmektedir. Sonlu Farklar Yöntemi (SFY), diferansiyel denklemlerde yer alan türev ifadelerinin sonlu farklar yaklaşımları ile değiştirilmesi esasına dayanır. Sonlu fark formülasyonlarının sayısal çözümlere veya adi diferansiyel denklemlere göre daha doğrudan bir yaklaşım sunduğu söylenebilir. Bu çalışmada, yapıların SFY ile analizi için bir matris yaklaşımı önerilmektedir. Sistem rijitlik matrisinin geliştirilmesi, sınır koşullarının uygulanması, yapısal eleman üzerine yükleme koşullarını içeren sistem analiz prosedürü önerilmektedir. Yapı elemanın diferansiyel denklemlerine bağlı olarak etkileşimli noktalar grubu tanımlanmıştır ve bu dinamik noktalar grubu kullanılarak sistem rijitlik matrisi üretilmiştir. Bu çalışmada önerilen algoritmalar kolaylığından dolayı Euler Bernoulli kirişleri için geliştirilmiş olup gelecek çalışmalarda aynı adımlar kullanılarak herhangi bir yapısal sistem için geliştirilebilir.