Riemann liouville ve hadamard tipli genelleştirilmiş kesirli diferansiyel denklemler

Abstract

Kesirli hesabın geçmişi oldukça önceye dayanmaktadır. Kesirli mertebeli diferensiyel ve integrasyon kavramları, tam sayı mertebeli türev ve n katlı integrali genelleştiren kavramlardır. Bu kavramlar ilk olarak 17. yüzyılda Leibniz tarafından ortaya atılmış, sonrasında Euler, Lagrange, Abel, Liouville gibi birçok matematikçinin çalıştığı bir alan olmuştur.

Dört bölümden oluşan bu çalışmada Reimann-Liouville ve Hadamard tipli genelleştirilmiş kesirli integrali α∈R,ρ∈R^+ ve f:(0,∞)→R olmak üzere

〖[J〗_ρ^α f](t)≔{■(∫_0^t▒〖K_ρ^α (t,η)f(η)dη,〗 & α∈R/Z_0^-@f(t),&α=0@∑_(i=1)^((-α))▒〖(A_((-α),i) (ρ))/t^((-α)ρ-i) (d/dt)^i f(t), 〗&α∈Z^- )┤

şeklinde tanımlanmıştır. Bu tanım daha önce Katugampola’nın yaptığı tanımdan yola çıkılarak elde edilmiştir. Çalışmanın ilk bölümünde kesirli türev kavramı hakkında genel bir bilgi verilmiş, ikinci bölümde çalışma için gerekli olan temel tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde Reimann-Liouville ve Hadamard tipli genelleştirilmiş kesirli integrali ve türevi tanımlanmış ve temel özellikleri verilmiş, son bölümde ise bu kesirli türevi içeren diferansiyel denklemlerin çözümleri üzerinde durulmuştur.

Fractional calculus is based on a very long history. Fractional differential and integration are generalization of integer order derivative and n -times integrals. These notions were originally proposed by Leibniz in the 17th century and then many mathematician worked on this subject like Euler, Lagrange, Abel, Liouville.

In this work, which is consisted of four chapters, Riemann-Liouville and Hadamard type generalized fractional integral defined by

〖[J〗_ρ^α f](t)≔{■(∫_0^t▒〖K_ρ^α (t,η)f(η)dη,〗 & α∈R/Z_0^-@f(t),&α=0@∑_(i=1)^((-α))▒〖(A_((-α),i) (ρ))/t^((-α)ρ-i) (d/dt)^i f(t), 〗&α∈Z^- )┤ where α∈R,ρ∈R^+ and f:(0,∞)→R. In the first chapter of this work, a general knowledge about the fractional derivative. In the second chapter of this work, some basic definitions and theorems, necessary for this work, are given. In the third chapter, Riemann-Liouville and Hadamard type generalized fractional integral and derivative are defined and basic features are given, in the last chapter focused on solution of Riemann-Liouville and Hadamard type generalized fractional differential equations.