Approximate Soliton Solutions of Real Order Sine- Gordon Equations

Abstract

In this study, the fractional Sine-Gordon (SG) equations (time-fractional, space-fractional and timespace- fractional) are solved using Homotopy Perturbation Method (HPM). The crucial point is the attained remarkable result from these solutions. While the solutions of classical and time-fractional SG equations are kink of type (Although of being the same type, they are different from each other), solution of the space-fractional SG equation is breather of type i.e., different types of soliton solutions are obtained using similar initial conditions for time and space fractional SG equation. Also these results show that some events such as vortex-antivortex couples in a Josephson junction or losses in signal dispersion of fiber optics communication can be modelled by fractional SG equations. In other words, this study may be very important for bringing to light the real behaviour of physical systems which have usually been described by classical SG equation. Because some physical events such as the memory effects of non-Markovian processes, the effects of non-Gaussian distribution, interactions between the systems and environment and some physical losses in the systems which are neglected in classical SG equation can be taken into account with fractional SG equations.

Bu çalışmada kesirli Sine-Gordon denklemleri (zaman-kesirli, uzay-kesirli ve zaman-uzay-kesirli) homotopy pertürbasyon metodu (HPM) kullanılarak çözülmüştür. Bu çözümlerden dikkat çekici sonuçlar elde edilmiştir. Klasik ve zaman-kesirli SG denklemlerinin çözümü kink tipi iken (aynı tipte olmalarına rağmen, birbirlerinden farklıdır), uzay-kesirli SG denkleminin çözümü breather tiptir; başka bir ifadeyle zaman ve uzay kesirli SG denklemi için benzer başlangıç koşulları kullanıldığında farklı tip soliton çözümleri elde edilmiştir. Ayrıca bu sonuçlar josephson eklemlerindeki vorteks-antivorteks çifleri veya fiber optik iletişimde sinyal dağılımındaki kayıplar gibi bazı olayları kesirli SG denklemleri ile modelleyebileceğini göstermiştir. Diğer bir deyişle, bu çalışma genellikle klasik SG denklemleri ile tanımlanan fiziksel sistemlerin gerçek davranışlarına ışık tutabilir. Çünkü Markovian olmayan süreçlerin bellek etkileri, Gaussian olmayan dağılımların etkileri, sistem ile dış çevre arasındaki etkileşmeler ve klasik SG denkleminin ihmal ettiği sistemler içerisindeki bazı fiziksel kayıplar gibi bazı fiziksel olaylar kesirli SG denklemleri ile hesaba katılabilir.