İteratif diferansiyel quadrature metodu ile bazı mühendislik problemlerinin çözülmesi

Abstract

Diferansiyel Quadrature Metodu (DQM) ilk defa Bellman vd. (1971) tarafından geliştirilmiştir. Shu ve Richards (1990) DQM’i genelleştiren bir algoritma oluşturarak Genelleştirilmiş DQM’i (GDQM) ortaya koymuştur. Bu tez çalışmasında GDQM Newton-Rapshon İterasyon Metodu ile birlikte kullanılarak çeşitli mühendislik problemlerinin çözümü gerçekleştirilmiştir. İteratif DQM (I-DQM) olarak isimlendirilen bu algoritma sayeside klasik DQM yaklaşımından farklı olarak aynı noktada çoklu sınır şartı için çözüm doğrudan şartın olduğu noktada başka herhangi bir ek prosedüre gerek kalmadan uygulanabilmiştir. Lineer ve Lineer Olmayan Adi Diferansiyel Denklemlerin (ADD) çözümlerinde I-DQM kullanılarak sayısal simülasyonlar gerçekleştirilmiştir. Elde edilen sonuçlar geliştirilen çözüm algoritmasının ADD problemleri için oldukça başarılı olduğunu göstermiştir. Mekanik alanında çözülmesi zor ve önemli olan Kirişlerin Büyük Sehim Problemi lineer olmayan bir ADD kullanılarak tanımlanmaktadır. Yöntemin hassasiyetini daha güvenilir bir şekilde test etmek amacıyla Büyük Sehim Problemi I-DQM algoritması ile çözülmüştür. I-DQM’in hassasiyetini karşılaştırmak amacıyla aynı problem Birleşim Metodu (BM) kullanılarak ayrıca ele alınmıştır. Sayısal sonuçlar önceki çalışmalarla ve BM ile karşılaştırıldığında I-DQM kullanılarak Büyük Sehim Probleminin kolaylıkla yüksek hassasiyetle çözülebildiği görülmüştür.

Mühendislik problemlerinin tanımlanmasında yaygın olarak lineer olmayan Kısmi Diferansiyel Denklemler (KDD) kullanılmaktadır. Bu nedenle I-DQM kullanılarak lineer ve lineer olmayan çeşitli KDD problemlerinin çözümleri sağlanmıştır. Sonuçlar incelendiğinde klasik DQM’e göre daha kolay bir yaklaşımla yüksek hassasiyetle çözümlerin elde edildiği görülmüştür. Yöntemin hassasiyetinin incelenmesi amacıyla literatürde metot testlerinde yaygın olarak kullanılan Burgers Denklemi I-DQM ile çözülmüştür. Yapılan ilk sayısal analizlerde Newton-Raphson İterasyon’un başlangıç tahminleri klasik yaklaşımla rastgele seçilmiştir. Bilindiği gibi iteratif yöntemlerde başlangıç tahmini değeri sonuca yakınsama hızı ve hassasiyetinde oldukça önemlidir. Bu bilgiden yola çıkılarak ele alınan problemin sınır şartları kullanılıp bir eğri uydurma yapılmış ve başlangıç tahmini olarak bu eğri fonksiyonu dikkate alınmıştır. Geliştirilen bu yeni yaklaşıma I-DQM için Eğri Uydurma Başlangıç Tahmini (EUBT) adı verilmiştir. EUBT kullanılarak gerçekleştirilen Burgers Denklemi çözümlerinde dt=0,01 adımla hızıyla 7 iterasyonda yeterli hassasiyette sonuçlar elde edilmiştir. Elde edilen sonuçlar Burgers Denkleminin literatürdeki diğer çözümleriyle karşılaştırılmıştır. EUBT kullanılarak yapılan I-DQM analizinde literatürde ilk defa bir DQM algoritmasıyla dt=0,01 adımlama hızında Burgers Denkleminin yeterli hassasiyette çözülebildiği görülmüştür. Bunlara ek olarak GDQM yaklaşımının aynı noktaya çoklu sınır şartı girilmesi gereken problemlerdeki hassasiyetini daha iyi değerlendirmek amacıyla lineer kiriş titreşim problemi farklı sınır şartları için ele alınmıştır. Elde edilen sonuçların karşılaştırılması için aynı problem Rayleigh-Ritz Metodu kullanılarak ayrıca çözülmüştür. Her iki yöntemin sonuçları literatürdeki diğer çalışmaların sonuçlarıyla karşılaştırılmış ve DQM’in oldukça yüksek bir hassasiyette çözüm sağladığı görülmüştür.

The Differential Quadrature Method (DQM) was first described by Bellman et al. (1971). Shu and Richards (1990) created an algorithm that generalizes DQM and introduces Generalized DQM (GDQM). In this thesis, various engineering problems were solved by using GDQM by combining the Newton-Raphson Iteration Method. This algorithm, called Iterative DQM (I-DQM), unlike the classical DQM approach, the solution for multiple boundary conditions at the same point can be applied directly to the point where the condition is required without any additional procedures. Numerical simulations were performed by using I-DQM in the solutions of Linear and Nonlinear Ordinary Differential Equations (OED). The results showed that the developed solution algorithm is very successful for OED problems. The major deflection problem of beams, which are difficult and difficult to solve in the mechanical field, is defined using a nonlinear OED. In order to test the accuracy of the method more reliably, the Large Deflection Problem was solved with the I-DQM algorithm. In order to compare the sensitivity of the I-DQM, the same problem was also addressed using the Combining Method (CM). Numerical results have shown that the Large Deflection Problem can be easily solved with high sensitivity by using I-DQM compared with previous studies and BM. Nonlinear Partial Differential Equations (PDE) are commonly used to define engineering problems. For this reason, I-DQM solutions of various linear and nonlinear PDE problems are provided. When the results were examined, it was seen that high precision solutions were obtained with an easier approach than classical DQM. In order to examine the sensitivity of the method, the Burgers Equation which is widely used in method tests in literature is solved with I-DQM. In the initial numerical analyzes, the initial predictions of Newton-Raphson Iteration were randomly selected with the classical approach. As it is known, in the iterative methods, the initial estimated value is very important in the convergence rate and accuracy of the results. Based on this information, a curve fitting was made using the boundary conditions of the problem discussed and this curve function was taken into consideration as the initial prediction. This new approach is called Curve Fitting Initial Guess (CFIG) for I-DQM. In the Burgers Equation solutions using CFIG, dt = 0,01 steps and 7 iterations with sufficient accuracy were obtained. The results are compared with other solutions of the Burgers Equation in the literature. I-DQM analysis using CFIG showed that for the first time in the literature, the Burgers Equation with a DQM algorithm can be solved with sufficient precision at a step rate of dt = 0,01. In addition, in order to better evaluate the sensitivity of GDQM approach to problems where multiple boundary conditions should be entered at the same point, the linear beam vibration problem has been addressed for different boundary conditions. In order to compare the results, the same problem was solved by using the Rayleigh-Ritz Method. The results of both methods were compared with the results of other studies in the literature and it was found that DQM provided a solution with very high sensitivity.